【題目】如果一個正整數(shù)n在三進制下的各位數(shù)字之和能被3整除,則稱n為“恰當數(shù)”。求S={1,2,...,2005}中全體恰當數(shù)之和。

【答案】671007

【解析】

對m∈N,在三進制下不超過m+1位的非負整數(shù)共有個,設其中數(shù)字和模3余0、余1、余2的數(shù)的個數(shù)分別為.當m≥1時,將數(shù)字和模3余0的數(shù)按其首位是0、1、2分類(將不足m+1位的非負整數(shù)前面添上一些0而變成m+1位,以下仿此),易得

.

同理,.

于是,.

又顯然,故對m∈N,恒有.從而,在三進制下不超過m+1位的恰當數(shù)共有個.

對m∈N在三進制下不超過m+1位的個非負整數(shù)中,設數(shù)字和模3余0、余1、余2的數(shù)的和分別為,則等于這個數(shù)之和,

.

當m≥1時, 個數(shù)字和模3余0的數(shù)中,首位為0的個的和,首位為1的個的和為,首位為2的個的和為.

.

從而,在三進制下不超過m+1位的個恰當數(shù)之和為.

由于2005=為7位數(shù),而由前面的分析知,不超過7位的正整數(shù)中,恰當數(shù)共有個,和為,這個和中包括了不超過而大于的恰當數(shù)共60個.將這60個數(shù)從小到大排列為

易算出這60個數(shù)之和為

.

=(1,2,...,2005)中全體恰當數(shù)之和為796797-125790=671007.

練習冊系列答案
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月份

1

2

3

4

5

6

廣告投入量/萬元

2

4

6

8

10

12

收益/萬元

14.21

20.31

31.8

31.18

37.83

44.67

用兩種模型①,②分別進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值:

7

30

1464.24

364

1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應選擇哪個模型?并說明理由.

2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除:

(i)剔除的異常數(shù)據(jù)是哪一組?

(ii)剔除異常數(shù)據(jù)后,求出(1)中所選模型的回歸方程;

(iii)廣告投入量時,(ii)中所得模型收益的預報值是多少?

附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:.

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