Question

【題目】如圖，數(shù)軸x、y的交點(diǎn)為O，夾角為，與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是，，由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們把叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)（以下各點(diǎn)的坐標(biāo)都指在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)）

（1）若，為單位向量，且與的夾角為120°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求向量與的夾角；

（3）若，直線l經(jīng)過點(diǎn)，求原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合為單位向量，且與的夾角為120°，列等式求解即可；

（2）由題意求出，的值，再結(jié)合向量的夾角公式求解即可；

（3）由題意得到點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式求解即可.

解：（1）當(dāng)，為單位向量，且與的夾角為120°，

設(shè),則，且，

即，代入運(yùn)算可得，即；

（2）若，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則,

則，

即，

又，

設(shè)向量與向量的夾角為，則，

即向量與的夾角為；

（3）當(dāng)，直線l經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，由題意可得，即點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，

又因?yàn)橹本�l經(jīng)過點(diǎn)，

則原點(diǎn)O到直線l的距離取最大值時(shí)，直線l與垂直，且交于點(diǎn)，

即原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為.