已知點M在橢圓(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．

(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；

(2)若點F(1，0)，設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時恒有|OC|2＋|OD|2＜|CD|2，求a的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，　　1分

　　∴M到y(tǒng)軸的距離d＝　　2分

　　又圓M與x軸相切，∴當x＝c時，得y＝，r＝　　3分

　　∴＝2，c＝　　4分

　　∵解得a＝3或a＝－1(舍去)，

　　則b2＝2a＝6．　　5分

　　故所求的橢圓方程為．　　6分

　　(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2)．

　�、佼斨本�CD與x軸重合時，有

　　∵c＝1，∴a2＝b2＋c2＞1，

　　恒有　　7分

　　②當直線CD不與x軸重合時，

　　設直線CD的方程為x＝my＋1，代入

　　整理得　　8分

　　∴

　　∵恒有，∴恒為鈍角，

　　則＝x1x2＋y1y2＜0恒成立　　9分

　　∴x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝

　　＋1

　　　　10分

　　又＞0

　　∴＜0對mR恒成立，

　　即對mR恒成立．

　　當mR時，的最小值為0，∴＜0．　　11分

　　∴，即

　　∴a＞0，b＞0，∴a＜b2，即a＜a2－1，∴a2－a－1＞0．

　　解得或，即．

　　由①②可知，a的取值范圍是(，＋∞)　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點M在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．
（1）若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；
（2）若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•青島一模）已知點M在橢圓D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點，若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為
2
6
3
的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓D上的一點，過點P的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點Q，若
QP
=2
PF
，求直線l的斜率；
（Ⅲ）過點G（0，-2）作直線GK與橢圓N：
3x2
a2
+
4y2
b2
=1左半部分交于H，K兩點，又過橢圓N的右焦點F1做平行于HK的直線交橢圓N于R，S兩點，試判斷滿足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直線GK是否存在？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省啟東中學2008－2009學年高二下學期第二次月考(數(shù)學文) 題型：044

已知點M在橢圓(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．

(1)若圓M與y軸相切，求橢圓的離心率；

(2)若圓M與y軸相交于A，B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年臨沂一模理）（12分）

已知點M在橢圓（a>b>0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F。

(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程;

(2)若點F（1,0），設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2，求a的取值范圍。

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