Question

（2012•安徽模擬）橢圓E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是左、右焦點，過F₁的直線與圓(x+

c

)

2

+(y+2

)

2

=1相切，且與橢圓E交于A，B兩點，且|AB|=

16

5

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設M為橢圓E上一動點，點N（0，2

3

），求|

MN

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的離心率，化簡方程，設出切線AB的方程利用直線與圓相切，及弦長公式，即可求橢圓E的方程；
（2）表示出|

MN

|，利用配方法，即可求|

MN

|的最大值．

解答：解：（1）∵橢圓E：

x 2

a 2

+

y2

b 2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴橢圓E：

x 2

4

+

y2

3

=c2
設切線AB：y=k（x+c），即kx-y+ck=0
∴圓(x+

c

)

2

+(y+2

)

2

=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離d=

2

1+k2

=1
∴k=±

3

∴切線AB為y=±

3

（x+c），
將切線方程代入

x 2

4

+

y2

3

=c2，可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-

8c

5

∵|AB|=

16

5

，∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

16c

5

=

16

5

，∴c=1
∴橢圓E的方程為

x 2

4

+

y2

3

=1；
（2）設M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，|

MN

|=

x02+(y0-2 3 )2

（-

3

≤y₀≤

3

）
∴|

MN

|=

4- 4 3 y02+(y0-2 3 )2

=

- 1 3 (y0+6 3 )2+52

∵-

3

≤y₀≤

3

∴y₀=-

3

時，|

MN

|的最大值為3

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查向量模長的計算，屬于中檔題．