Question

已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓C過點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE,AF與直線分別交于不同的兩點(diǎn)M,N，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）由題設(shè)知橢圓中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且過點(diǎn)，于是可設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程,并用待定系數(shù)法求出的值進(jìn)而確定橢圓的方程.
（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，由題意可設(shè)直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去并結(jié)合韋達(dá)定理得到，據(jù)此可將化成關(guān)于的函數(shù)而求解.
注意對直線的斜率不存在及斜率為零的情況，要單獨(dú)說明.
解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：     1分
設(shè)橢圓的方程為，則
依題意得，解得，.
所以橢圓的方程為.             3分
（2）顯然點(diǎn).
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，
易得，，
所以.                              5分
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，由題意可設(shè)直線的方程為，,顯然 時，不符合題意.
由得.       6分
則.     7分
直線，的方程分別為：，
令，則.
所以，.    9分
所以 
 


.        11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051123227471.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，即.
綜上所述，的取值范圍是.              13分