Question

已知f(x)=

1

3

x3+ax+b(a，b∈R)在x=2處取到極小值-

4

3

．
（1）求a，b的值； 
（2）若 f(x)≤m2+m+

10

3

對x∈[-4，3]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導．令f′（x）=0，根據f（x）在x=2取到極小值-

4

3

列出關于a，b的方程即可求得a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=

1

3

x3-4x+4，令f'（x）=0得x=±2，列表判斷極大值極小值點，再根據f（x）在[-4，3]上最大值為

28

3

得到關于m的不等關系，解此不等關系即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，得f'（x）=x²+a
∵f（x）在x=2取到極小值-

4

3

∴

f′(2)=0 f(2)=- 4 3

∴

a+4=0 8 3 +2a+b=- 4 3

得：

a=-4 b=4

．
（2）由（1）可知f（x）=

1

3

x3-4x+4，令f'（x）=0得x=±2

x	（-4，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值 28 3	↘	極小值	↗

又f（-4）=-

4

3

，f（3）=1，
∴f（x）在[-4，3]上最大值為

28

3

由f（x）≤m²+m+

10

3

對一切x∈[-4，3]恒成立，故

28

3

≤m2+m+

10

3

⇒m≥2或m≤-3．即為實數m的取值范圍．

點評：在高中階段，導數是研究函數性質的重要而有效的工具之一，包括函數的單調性，極值，最值等，本題就是利用導函數研究函數的極值．近兩年的高考題中，對導數部分的考查是越來越常見，其重要性也不言而喻．