Question

若圓x²+y²=4與圓x²+y²+ay-2=0的公共弦的長度為2

3

，則常數a的值為

±2

．

Answer 1

分析：化圓x²+y²+ay-2=0為標準式，求出圓形和半徑，得到其圓心在y軸上，在平面直角坐標系中畫出兩個圓，結合兩元的公共弦長，由圖可知兩圓的交點坐標，然后分圓心在x軸上方和下方，利用圓心到交點的距離等于半徑列式求解a的值．

解答：解：由圓x²+y²+ay-2=0，得x2+(y+

a

2

)2=2+

a2

4

，表示以（0，-

a

2

）為圓心的圓．
當a＜0時，是圓心在x軸上方的圓，當a＞0時，是圓心在x軸下方的圓．
圓x²+y²=4是以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓，如圖：
∵圓x²+y²=4與圓x²+y²+ay-2=0的公共弦的長度為2

3

，
∴兩圓焦點的橫坐標分別為-

3

，

3

，代入圓x²+y²=4，得y=±1．
當圓x²+y²+ay-2=0的圓心在x軸上方，交點為(-

3

，1)，(

3

，1)，圓心與交點距離為半徑，
即

(0- 3 )2+(- a 2 -1)2

=

2+ a2 4

，解得：a=-2；
當圓x²+y²+ay-2=0的圓心在x軸下方，交點為(-

3

，-1)，(

3

，-1)，圓心與交點距離為半徑，
即

(0- 3 )2+(- a 2 +1)2

=

2+ a2 4

，解得a=2．
綜上，常數a的值為±2．
故答案為：±2．

點評：本題考查了圓與圓的位置關系及其判定，考查了分類討論的數學思想方法，考查了計算能力，是中檔題．