【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線,求點(diǎn)的橫坐標(biāo);

(Ⅲ)設(shè),且曲線總存在公切線,求的最小值.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解不等式,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo),可得,即

分別求出過的兩條切線方程,由題意可知,這兩條切線重合,可得有,即,把代入,得,設(shè),求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性可知:函數(shù)上有唯一的零點(diǎn),所以,即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;

(Ⅲ)分別求出兩個(gè)曲線的切線方程,根據(jù)斜率相等和在縱軸的截距相等,得到方程組,通過消元法,得到一個(gè)方程,只要方程有正實(shí)數(shù)解即可,參變量分離,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),求出新函數(shù)的最小值,最后求出的最小值.

(Ⅰ)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;

(Ⅱ)設(shè)公共點(diǎn)為,,所以,即,

曲線在公共點(diǎn)處的切線的斜率為:,切線方程為:,

曲線在公共點(diǎn)處的切線的斜率為:,切線方程為:

,曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線,所以有,即,把代入,得,設(shè),,函數(shù)上單調(diào)遞增,而,所以函數(shù)上有唯一的零點(diǎn),所以,即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

(Ⅲ)設(shè)曲線的切點(diǎn)為,,則切線的斜率為,所以曲線的切線方程為:,設(shè)曲線的切點(diǎn)為,,則曲線的切線的斜率為所以曲線的切線方程為;

由題意可知:有正實(shí)數(shù)解,

由于,所以,所以,設(shè),

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為,要使方程有正實(shí)數(shù)解,只需,所以的最小值為.

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