【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線,求點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè),且曲線與總存在公切線,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解不等式,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo),可得,即,
分別求出過的兩條切線方程,由題意可知,這兩條切線重合,可得有且,即,把代入,得,設(shè),求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性可知:函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),所以,即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;
(Ⅲ)分別求出兩個(gè)曲線的切線方程,根據(jù)斜率相等和在縱軸的截距相等,得到方程組,通過消元法,得到一個(gè)方程,只要方程有正實(shí)數(shù)解即可,參變量分離,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),求出新函數(shù)的最小值,最后求出的最小值.
(Ⅰ)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;
(Ⅱ)設(shè)公共點(diǎn)為,,所以,即,
曲線在公共點(diǎn)處的切線的斜率為:,切線方程為:,
曲線在公共點(diǎn)處的切線的斜率為:,切線方程為:
,曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線,所以有且,即,把代入,得,設(shè),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),所以,即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;
(Ⅲ)設(shè)曲線的切點(diǎn)為,,則切線的斜率為,所以曲線的切線方程為:,設(shè)曲線的切點(diǎn)為,,則曲線的切線的斜率為所以曲線的切線方程為;,
由題意可知:有正實(shí)數(shù)解,
由于,所以,所以,,設(shè),,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為,要使方程有正實(shí)數(shù)解,只需,所以的最小值為.
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A. B. C. D.
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(Ⅰ)求該考生本次測驗(yàn)選擇題得50分的概率;
(Ⅱ)求該考生本次測驗(yàn)選擇題所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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