某學(xué)校需要一批一個(gè)銳角為θ的直角三角形硬紙板作為教學(xué)用具(
24
≤θ≤
π
3
),現(xiàn)準(zhǔn)備定制長(zhǎng)與寬分別為a、b(a>b)的硬紙板截成三個(gè)符合要求的△AED、△BAE、△EBC.(如圖所示)
(1)當(dāng)θ=
π
6
時(shí),求定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值;
(2)現(xiàn)有三種規(guī)格的硬紙板可供選擇,A規(guī)格長(zhǎng)80cm,寬30cm,B規(guī)格長(zhǎng)60cm,寬40cm,C規(guī)格長(zhǎng)72cm,寬32cm,可以選擇哪種規(guī)格的硬紙板使用.
分析:(1)根據(jù)準(zhǔn)備定制長(zhǎng)與寬分別為a、b(a>b)的硬紙板截成三個(gè)符合要求的△AED、△BAE、△EBC,可得∠AED=∠CBE=θ從而可求θ=
π
6
時(shí),定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值;
(2)求出定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值,根據(jù)角的范圍,確定比值的范圍,從而可判斷哪種規(guī)格的硬紙板符合條件.
解答:解:(1)由題意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE•cos30°=AB•sin30°•cos30°=
3
4
a
a
b
=
4
3
3
          …4′
(2)∵b=BE•cosθ=AB•sinθ•cosθ=
1
2
AB•sin2θ,∴
b
a
=
1
2
sin2θ
24
≤θ≤
π
3
,∴
12
≤2θ≤
3
,∴
b
a
∈[
3
4
,
1
2
]…10′
A規(guī)格:
30
80
=
3
8
3
4
,不符合條件.…11′
B規(guī)格:
40
60
=
2
3
1
2
,不符合條件.…12′
C規(guī)格:
32
72
=
4
9
∈[
3
4
,
1
2
],符合條件.…13′
∴選擇買(mǎi)進(jìn)C規(guī)格的硬紙板.…14′
點(diǎn)評(píng):本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是確定相似形,確定定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值.
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(1)當(dāng)θ=數(shù)學(xué)公式時(shí),求定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值;
(2)現(xiàn)有三種規(guī)格的硬紙板可供選擇,A規(guī)格長(zhǎng)80cm,寬30cm,B規(guī)格長(zhǎng)60cm,寬40cm,C規(guī)格長(zhǎng)72cm,寬32cm,可以選擇哪種規(guī)格的硬紙板使用.

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(1)當(dāng)θ=時(shí),求定制的硬紙板的長(zhǎng)與寬的比值;
(2)現(xiàn)有三種規(guī)格的硬紙板可供選擇,A規(guī)格長(zhǎng)80cm,寬30cm,B規(guī)格長(zhǎng)60cm,寬40cm,C規(guī)格長(zhǎng)72cm,寬32cm,可以選擇哪種規(guī)格的硬紙板使用。

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