(本小題滿分14分)
已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,離心率為,又橢圓上任一點到兩焦點的距離和為,過點M(0,)與x軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)在y軸上是否存在定點N,使以PQ為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
(1) (2)先假設(shè)存在,聯(lián)立方程組,利用·可以求出存在
N(0,1)滿足要求
解析試題分析:(1)因為離心率為,又,∴a=,c=1,
故b=1,故橢圓的方程為. ……4分
(2)由題意設(shè)直線的方程為y=kx-,
聯(lián)立方程得(2k2+1)x2-kx-=0,
設(shè)P(x1, y1),Q(x2, y2),
則x1+x2=,x1·x2=, ……8分
假設(shè)在y軸上存在定點N(0,m)滿足題設(shè),則
,,
·= x1x2+(y1-m)(y2-m)= x1x2+ y1y2-m(y1+y2) +m2
= x1x2+(kx1-)( kx2-)-m(kx1-+ kx2-) +m2
=(k2+1) x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+m+
=-k(+m)+m2+m+
=, ……12分
由假設(shè)得對于任意的k∈R,·=0恒成立,
即解得m=1,
因此,在y軸上存在定點N,
使得以PQ為直徑的圓恒過這個點,點N的坐標(biāo)為(0,1). ……14分
考點:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的判定和應(yīng)用、韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的運(yùn)算和應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
點評:對于探究性問題,一般是先假設(shè)存在,然后計算,如果能求出,則說明存在,如果求不出或得出矛盾,則說明不存在.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知橢圓C1:的離心率為,直線l: y-=x+2與.以原點為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓O相切.
(1)求橢圓C1的方程;
(ll)設(shè)橢圓C1的左焦點為F1,右焦點為F2,直線l2過點F價且垂直于橢圓的長軸,動直線l2垂直于l1,垂足為點P,線段PF2的垂直平分線交l2于點M,求點M的軌跡C2的方程;
(III)過橢圓C1的左頂點A作直線m,與圓O相交于兩點R,S,若△ORS是鈍角三角形, 求直線m的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題12分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,在平面直坐標(biāo)系中,已知橢圓,經(jīng)過點,其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個交點。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過原點的直線與橢圓相交與A,B兩點,第一象限內(nèi)的點在橢圓上,直線平分線段,求:當(dāng)的面積取得最大值時直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓與拋物線的焦點均在軸上,的中心和的頂點均為原點,從每條曲線上至少取兩個點,將其坐標(biāo)記錄于下表中:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點,且離心率e=.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點、,且線段的垂直平分線過定點,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分15分) 已知動圓過定點,且與直線相切,橢圓 的對稱軸為坐標(biāo)軸,一個焦點是,點在橢圓上.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程;
(Ⅱ)若動直線與軌跡在處的切線平行,且直線與橢圓交于兩點,問:是否存在著這樣的直線使得的面積等于?如果存在,請求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知橢圓上的任意一點到它的兩個焦點, 的距離之和為,且其焦距為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線與橢圓交于不同的兩點A,B.問是否存在以A,B為直徑
的圓 過橢圓的右焦點.若存在,求出的值;不存在,說明理由.
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