Question

【題目】已知函數(shù)，，

（1）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若a=3，且對任意的x1∈[-1，2]，總存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）令t=x2，則t∈[1，3]，記，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=h（t）與y=a有兩個交點，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最小值然后求解實數(shù)a的范圍．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，通過當(dāng)m=0時，當(dāng)m＞0時，當(dāng)m＜0時，分類求實數(shù)m的取值范圍，推出結(jié)果即可．

（1）由題意，函數(shù)，，

令t=x2，則t∈[1，3]，則，

要使得函數(shù)f（x）有兩個零點，即函數(shù)y=h（t）與y=a有兩個交點，

因為，當(dāng)t∈（1，2）時，＜0；當(dāng)t∈（2，3）時，＞0，

所以函數(shù)h（t）在（1，2）遞減，（2，3）遞增，

從而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，

由圖象可得，當(dāng)時，y=h（t）與y=a有兩個交點，

所以函數(shù)f（x）有兩個零點時實數(shù)a的范圍為：．

（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，

當(dāng)m=0時，，顯然成立；

當(dāng)m＞0時，在[-1，2]上單調(diào)遞增，所以，

記，

由對任意的，總存在，使成立，可得，

所以且，解得，

當(dāng)m＜0時，在[-1，2]上單調(diào)遞減，所以，

所以且，截得，

綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為．