Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax4lnx+bx4﹣c在x=1處取得極值﹣3﹣c．
（1）試求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，從而b=﹣3

又對(duì)f（x）求導(dǎo)得f′（x）=x3（4alnx+a+4b）

由題意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12

（2）解：由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）為減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)

因此f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）

（3）解：由（II）知，f（x）在x=1處取得極小值f（1）=﹣3﹣c，此極小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2

即2c2﹣c﹣3≥0，從而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得c≥ 或c≤﹣1

所以c的取值范圍為（﹣∞，﹣1]∪[ ，+∞）

【解析】（1）因?yàn)閤=1時(shí)函數(shù)取得極值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令導(dǎo)函數(shù)=0求出a即可；（2）解出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值討論x的取值范圍時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的極小值≥﹣2c2 ， 求出c的解集即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．