Question

如圖，在四棱錐中，，，底面是菱形，且，為的中點．
（1）求四棱錐的體積；
（2）證明：平面；
（3）側棱上是否存在點，使得平面？并證明你的結論．

Answer 1

為側棱的中點時，平面

解:（1），

則有，，
， 又
底面，………………………(2分)
 ……………(4分) 
（2）證明： 是菱形，，，
為正三角形， 又為的中點，…………………(6分)
      
由，，，
平面          ……………………………………………………(8分)
（3）為側棱的中點時，平面．    ……………………………(10分)
證法一：設為的中點，連，則是的中位線，
且，又且， 
且，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，
平面．                                ………………(12分)
證法二：設為的中點，連，則是的中位線，
，平面，平面，
平面．                                
同理，由，得平面．
又，平面平面，  
又平面，平面．  ……………………………(12分)