Question

（2010•成都模擬）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）不為常函數(shù)，有以下命題：
①函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
③若f（x）是奇函數(shù)，且對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
其中正確命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)偶函數(shù)定義可得g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①可判斷；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，可得f（x+2）=-f（-x），故②錯誤；
③由對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，可知f（2+x）=-f（x），根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），從而可判斷f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結合

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

解答：解：①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)，故①正確；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2為周期的周期函數(shù)，故②錯誤；
③∵對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④設任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．

點評：本題以函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)的奇偶性，周期性，對稱性及函數(shù)的單調(diào)性，解題時應一一判斷．