Question

已知二項(xiàng)式（x-

2

x

）ⁿ展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開式中x⁴項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得，由二項(xiàng)式系數(shù)和 2ⁿ=1024，求得n的值．
（Ⅱ）求得展開式的第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再令通項(xiàng)公式中x的冪指數(shù)等于4，求得r的值，即可求得展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，由二項(xiàng)式系數(shù)和 2ⁿ=1024，┅┅┅┅（3分）
解得n=10．┅┅┅（5分）
（Ⅱ）由于展開式的第k+1項(xiàng)為Tk+1=

C

k 10

x10-k(-

2

x

)k=(-2)k

C

k 10

x10-

3

2

k，…（8分）
令10-

3

2

k=4，解得k=4，…（10分）
∴展開式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)為(-2)4

C

4 10

=3360．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．