已知軸對稱平面五邊形ADCEF（如圖1），BC為對稱軸，AD⊥CD，AD=AB=1，CD=BC=
3
，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF、DE得到幾何體（如圖2）．
（1）證明：AF∥平面DEC；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．
（1）證明：以B為坐標原點，分別以BF，BC，BA為x軸、y軸、z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
由已知條件與平面向何知識得：
A（0，0，1），F(xiàn)（1，0，0），D（0，
3
2
，
3
2
），E（
3
2
，
3
2
，0），
∴
AF
=（1，0，-1），
DE
=(
3
2
，0，-
3
2
)，
∴
AF
=
2
3
DE
，∴AF∥DE，
又DE?平面DCE，且AF不包含平面DCE，
∴AF∥平面DEC．
（2）由（Ⅰ）得A、D、E、F四點共面，
AF
=(1，0，-1)，
AD
=(0，
3
2
，
1
2
)，
設平面ADEF的法向量
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AF
=x-z=0
n
•
AD
=
3
2
y+
1
2
z=0
，
令y=-1，得
n
=(
3
，-1，
3
)，
由已知得平面ABCD的一個法向量為
m
=（1，0，0），
∴cos＜
n
，
m
＞=
3
7
=
21
7
，
∴二面角E-AD-B的余弦值為
21
7
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；
(2)求cos∠COD.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
和
π
6
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=12，求A′B′的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中側視圖和俯視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．求：
（1）異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B的正弦值；
（3）此幾何體的體積V的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中點，點N在CC1上．
（1）試確定點N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當AB1⊥MN時，求二面角M-AB1-N的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=
2
．
（1）證明：平面A′BD∥平面B′CD′；
（2）求二面角A-BC-B′的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知三個互不重合的平面且 ，給出下列命題：
①則                   ②則
③若則                 ④若則
其中正確命題的個數(shù)為（ ）.
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的射影．給出下列結論：

①AF⊥PB；      ②EF⊥PB；
③AF⊥BC；      ④AE⊥平面PBC．
其中正確命題的序號是　   　．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是________．

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