Question

【題目】設f（x）= +5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調函數，則實數a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.（﹣∞，﹣3]
C.（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞）
D.[﹣ ， ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數的導數f′（x）=x2+2ax+5，
①若函數在區(qū)間[1，3]上為單調增函數，則等價為f′（x）≥0恒成立，
即x2+2ax+5≥0，
即2ax≥﹣x2﹣5，
則2a≥ =﹣（x+ ），
∵x+ ，當且僅當x= ，即x= ∈[1，3]取等號，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
即2a≥﹣2 ，解得a≥﹣ ；
②若函數在區(qū)間[1，3]上為單調減函數，則等價為f′（x）≤0恒成立，
即x2+2ax+5≤0，
即2ax≤﹣x2﹣5，
則2a≤ =﹣（x+ ），
∵x+ ，當且僅當x= ，即x= ∈[1，3]取等號，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
當x=1時，﹣（x+ ）=﹣6，
當x=3時，﹣（x+ ）=﹣（3+ ）=﹣ ＞﹣6，
∴﹣（x+ ）min=﹣6，
即2a≤﹣6，解得a≤﹣3；
綜上a∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞），
故選：C
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．