Question

（2013•惠州一模）已知f(x)=lnx，g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切于點（1，0）．
（1）求直線l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的極大值．

Answer 1

分析：（1）先確定直線l的方程為y=x-1，利用直線l與g（x）的圖象相切，且切于點（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；
（2）確定函數h（x）的解析式，利用導數求得函數的單調性，即可求函數h（x）的極大值．

解答：解：（1）直線l是函數f（x）=lnx在點（1，0）處的切線，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直線l的方程為y=x-1．…（2分）
又因為直線l與g（x）的圖象相切，且切于點（1，0），
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n在點（1，0）的導函數值為1．
∴

g(1)=0 g′(1)=1

，∴

m=-1 n= 1 6

，…（4分）
∴g(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x²-x+1（x＞0）…（7分）
∴h′(x)=

1

x

-2x-1=

1-2x2-x

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

…（9分）
令h′（x）=0，得x=

1

2

或x=-1（舍）…（10分）
當0＜x＜

1

2

時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x＞

1

2

時，h′（x）＜0，h（x）遞減…（12分）
因此，當x=

1

2

時，h（x）取得極大值，
∴[h（x）]_極大=h(

1

2

)=ln

1

2

+

1

4

…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查切線方程，考查函數的單調性與極值，考查學生的計算能力，正確求導是關鍵．