Question

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的零點.

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個零點分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）方程在有兩個不同跟等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點,對進行求導，通過單調(diào)性畫出的草圖，由與有兩個交點進而得出的取值范圍; （Ⅱ）分離參數(shù)得： ,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（I）依題意，函數(shù)的定義域為，

所以方程在有兩個不同跟等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點.

又，即當時， ；當時， ,

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

從而.

又有且只有一個零點是1，且在時， ，在時， ，

所以的草圖如下：

可見，要想函數(shù)與函數(shù)在圖像上有兩個不同交點，只需.

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個根，即， ，

所以原式等價于.

因為， ，所以原式等價于.

又由， 作差得， ，即.

所以原式等價于.

因為，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當時，可見時， ，所以在上單調(diào)遞增，又在恒成立，符合題意；

當時，可見當時， ；當時， ，

所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.