Question

【題目】已知點F（1，0），直線l：x=﹣1，直線l'垂直l于點P，線段PF的垂直平分線交l'于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程C；
（2）過F做斜率為 的直線交C于A，B，過B作l平行線交C于D，求△ABD外接圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由垂直平分線的性質(zhì)可知：PQ=PF，結(jié)合拋物線的定義可得Q點的軌跡方程是以F點為焦點，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程C為：y2=4x．

（2）由題意可得，直線l的方程為： ，

與拋物線方程C聯(lián)立整理可得：y2﹣8y﹣4=0，則：y1+y2=8，y1y2=﹣4，

很明顯△ABD外接圓的圓心為線段AB的垂直平分線與x軸的交點，

設(shè)AB中點為E，則 ，

中垂線方程為：y﹣4=﹣2（x﹣9），令y=0可得圓心坐標(biāo)為：（11，0），

利用弦長公式： ，

圓心到直線AB：x﹣2y﹣1=0的距離為： ，

設(shè)圓的半徑為R，據(jù)此有： ，

則△ABD外接圓的方程是（x﹣11）2+y2=120．

【解析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知：PQ=PF，結(jié)合拋物線的定義可得Q點的軌跡方程是以F點為焦點，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程C為：y2=4x．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程為：y = ( x 1 )，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達定理得到y(tǒng)1+y2， y1y2， 很明顯△ABD外接圓的圓心為線段AB的垂直平分線與x軸的交點，可得到中點E的坐標(biāo)，進而得到中垂線方程，當(dāng)y=0時，得到圓心坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可解得R，從而的到外接圓的方程.