Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對a分類討論得到的單調(diào)性.(2)先轉(zhuǎn)化函數(shù)有三個零點(diǎn)得到，再利用分析法和導(dǎo)數(shù)證明.

詳解：(1)

令,則或,

當(dāng)時(shí),,在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí),令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,

所以在上是減函數(shù)

當(dāng)時(shí),令,得,,

所以在,上是增函數(shù)；

令,得,所以在上是減函數(shù)

綜上所述：

當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí),在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

當(dāng)時(shí),在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

（2）由(1)可知：當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù)，函數(shù)不可能有三個零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí),在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

的極小值為，函數(shù)不可能有三個零點(diǎn)

當(dāng)時(shí),,

要滿足有三個零點(diǎn),則需,即

當(dāng)時(shí),要證明：等價(jià)于要證明

即要證：

由于,故等價(jià)于證明：,證明如下：

構(gòu)造函數(shù)

令

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,函數(shù)在單調(diào)遞增

,

∴．