【題目】為了迎接2000年的到來,某地組織了一次乒乓球迎春幸運(yùn)賽.首先,通過身份號抽選出2000名選手,編號為1,2,…,2000,他們當(dāng)中任兩人都可以組成一對雙打選手,每對選手的編號之和稱為他們的“和號”.規(guī)定:“和號”相同的兩對選手方有資格進(jìn)行幸運(yùn)雙打賽.比賽開始前,組委會(huì)首先從2000個(gè)編號中隨機(jī)抽出65名幸運(yùn)選手,然后找出“和號”相同的兩對選手進(jìn)行幸運(yùn)雙打賽(凡同一“和號”的選手分在同一區(qū)進(jìn)行單循環(huán)).求證:無論怎樣抽選,總有選手進(jìn)行幸運(yùn)賽.

【答案】見解析

【解析】

因從1~2000兩兩作差(這里規(guī)定大數(shù)減小數(shù)),只有從1~1999共1999個(gè)數(shù)(作l999個(gè)抽屜).

而任取65個(gè)編號(規(guī)定)兩兩作差(大數(shù)減小數(shù)),可得個(gè)差(作2080個(gè)蘋果).

由抽屜原理知,必存在差相等的情況.下面就差相等的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論.

(1)若2080個(gè)差中,存在3個(gè)差相等的情況.設(shè)

(i)若,則配對,配對,可進(jìn)行幸運(yùn)賽.

(ii)若(稱為相鄰等差對),則,從而配對配對,可進(jìn)行幸運(yùn)賽.

(2)若2080個(gè)差中,不存在有3個(gè)差相等的情況,此時(shí),由知,兩個(gè)差相等的情況至少發(fā)生了81次.

考慮這些相等差:

(i)若的情況不超過64次,則81個(gè)棚等差中必存在,使式①成立.此時(shí),配對,配對,可進(jìn)行幸運(yùn)賽.

(ii)若的情況至少發(fā)生64次,由于此時(shí)的只能取共63個(gè)值,故必有關(guān)于的相鄰等差對重復(fù)出現(xiàn).即存在使

相減得.

配對,配對,可進(jìn)行幸運(yùn)賽.

綜上得,隨機(jī)抽出65名選手,總可進(jìn)行幸運(yùn)賽.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).

1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍.

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【題目】己知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為,,直線l:與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

若直線l過點(diǎn),且,求直線l的方程;

若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】己知橢圓C:的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線l過點(diǎn)F1,且|AB|=,求k的值;

(2)若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O,試探究點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓Ox2y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向圓O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,|PQ|=|PA|成立,如圖.

(1)a,b間的關(guān)系;

(2)|PQ|的最小值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】,設(shè)

(Ⅰ)求函數(shù)的周期及單調(diào)增區(qū)間。

(Ⅱ)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知 ,求邊的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某項(xiàng)娛樂活動(dòng)的海選過程中評分人員需對同批次的選手進(jìn)行考核并評分,并將其得分作為該選手的成績,成績大于等于分的選手定為合格選手,直接參加第二輪比賽,大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.

1)求的值;

2)估計(jì)這名參賽選手的平均成績;

3)根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn),參加競賽選拔賽的選手能夠進(jìn)入正式競賽比賽的概率為,假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨(dú)立,現(xiàn)有名選手進(jìn)入競賽選拔賽,記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,EF分別是ABPD的中點(diǎn),且PA=AD

(Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;

(Ⅱ)求證:平面PEC⊥平面PCD

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,且過點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓,經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.

(1)求橢圓及圓的方程;

(2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,請求出直線的方程,若不存在,請說明理由.

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