【題目】已知動直線與橢圓交于、兩個不同點，且的面積，其中為坐標(biāo)原點．

（1）證明和均為定值；

（2）設(shè)線段的中點為，求的最大值；

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可得出，，根據(jù)的面積求得、的值，可得出和的值；在直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可求得和的值，進而得出結(jié)論；

（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，可直接求得的值；在直線的斜率存在時，求得、關(guān)于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值，進而可得出結(jié)論.

（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，、兩點關(guān)于軸對稱，所以，，

在橢圓上，①，又，②

由①②得，．此時，；

當(dāng)直線的斜率存在時，是直線的方程為，

將直線的方程代入得，

，即，

由韋達定理得，，

，

點O到直線的距離為，

，

又，整理得，

此時，

，

綜上所述，，結(jié)論成立；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由（1）知，，因此；

當(dāng)直線的斜率存在時，由（1）知，，

，

，

所以，．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

綜上所述，的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)，設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)，時，證明：；

（2）若有兩個極值點，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E，F分別是棱C1D1，B1C1的中點，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點，若AP∥平面BDEF，則線段AP長度的取值范圍是（ ）

A.[，]B.[，]C.[，]D.[，]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市積極貫徹落實國務(wù)院《“十三五”節(jié)能減排綜合工作方案》，空氣質(zhì)量明顯改善.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計了某月（30天）空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級與空氣質(zhì)量指數(shù)對照如下表：

空氣質(zhì)量指數(shù)

300以上

空氣質(zhì)量等級

一級

（優(yōu)）

二級

（良）

三級

（輕度污染）

四級

（中度污染）

五級

（重度污染）

六級

（嚴重污染）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計，在這30天中，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良的天數(shù)；

（2）根據(jù)體質(zhì)檢查情況，醫(yī)生建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于90時，市民甲不宜進行戶外體育運動；當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)高于70時，市民乙不宜進行戶外體育運動（兩人是否進行戶外體育運動互不影響）.

①從這30天中隨機選取2天，記乙不宜進行戶外體育運動，且甲適宜進行戶外體育運動的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②以該月空氣質(zhì)量指數(shù)分布的頻率作為以后每天空氣質(zhì)量指數(shù)分布的概率（假定每天空氣質(zhì)量指數(shù)互不影響），甲、乙兩人后面分別隨機選擇3天和2天進行戶外體育運動，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜進行戶外體育運動的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①對任意的恒有成立；②當(dāng)時，.記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝2．

（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）曲線C2上兩點與點B（ρ2，α），求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝x，若在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)，有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過點作傾斜角為（）的直線交曲線于、兩點.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并寫出直線的參數(shù)方程；

（2）過點的另一條直線與垂直，且與曲線交于，兩點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】輥子是客家傳統(tǒng)農(nóng)具，南方農(nóng)民犁開田地后，仍有大的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輥軸，兩側(cè)裝上木板，人跨開兩腳站立，既能掌握平衡，又能增加重量，讓牛拉動輥軸前進，壓碎土塊，以利于耕種.這六片葉齒又對應(yīng)著菩薩六度，即布施持戒忍辱精進禪定與般若.若甲乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機取一片，則這兩人選的葉齒對應(yīng)的“度”相同的概率為______.

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