【題目】拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在軸正半軸上,準(zhǔn)線與圓相切.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知直線和拋物線交于點(diǎn),命題:“若直線過定點(diǎn)(0,1),則 ”,
請(qǐng)判斷命題的真假,并證明.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)命題P為真命題
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線C的方程為:x2=2py,p>0,由已知條件得圓心(0,0)到直線l的距離,由此能求出拋物線線C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線m:y=kx+1,交點(diǎn)A ,B 聯(lián)立拋物線C的方程,得x2-4kx-4=0,△=16k2+16>0恒成立,由此利用韋達(dá)定理能證明命題P為真命題
試題解析:(Ⅰ)依題意,可設(shè)拋物線C的方程為:,
其準(zhǔn)線的方程為:
∵準(zhǔn)線圓相切 ∴解得p=4
故拋物線線C的方程為:………….…5分
(Ⅱ)命題p為真命題 ……………………………………6分
直線m和拋物線C交于A,B且過定點(diǎn)(0,1),
故所以直線m的斜率k一定存在,………………………7分
設(shè)直線m:,交點(diǎn),,聯(lián)立拋物線C的方程,
得,恒成立,………8分
由韋達(dá)定理得………………………………………9分
=
∴命題P為真命題.………………………………………12分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是圓的直徑, 垂直圓所在的平面, 是圓上的點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)設(shè)為的中點(diǎn), 為的重心,求證: 平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點(diǎn).
求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)其中是實(shí)數(shù).設(shè)為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為,且.
(1求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若,函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線互相垂直,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在 上
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,證明:的斜率與直線的斜率的乘積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,橢圓上的點(diǎn)滿足,且的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線與直線的交點(diǎn)為,證明:點(diǎn)總在直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫度與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率;
(Ⅱ)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(Ⅱ)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(注:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市戶居民的月平均用電量(單位:度),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(I)求直方圖中的值;
(II)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(III)在月平均用電量為,,,的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取戶居民,則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機(jī)抽取個(gè)作為樣本,稱出它們的重量(單位:克),重量分組區(qū)間為,,,,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖).
(Ⅰ)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值;
(Ⅱ)從盒子中隨機(jī)抽取個(gè)小球,其中重量在內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望. (以直方圖中的頻率作為概率).
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