Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）（也叫f（x）一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）為f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀） ）為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；定義：（2）設(shè)x₀為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x₀，f（x₀））對稱．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
（2）檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱；
（3）對于任意的三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）寫出一個有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
（2）因?yàn)閒（1+x）+f（1-x）=2f（1），由定義（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2關(guān)于點(diǎn)（1，2）對稱．
（3）將（2）的結(jié)論進(jìn)行合情推理，可得結(jié)論：三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是f（x）的對稱中心．

解答：解：（1）依題意，得：f′（x）=3x²-6x+2，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，2）．
（2）由（1）知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是（1，2）．
而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2
=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定義（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2關(guān)于點(diǎn)（1，2）對稱．
（3）一般地，三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是f（x）的對稱中心．
（或者：任何一個三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)；都對．）

點(diǎn)評：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．