【題目】如圖,已知分別是邊長為12的正三角形,,四邊形為直角梯形,且,,點(diǎn)的重心,中點(diǎn),平面,為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)若二面角的余弦值為,試求異面直線所成角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】分析:(1)并延長交,連,由三角形的重心的條件及題意可得,故,再根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論.(2)由題意得兩兩垂直,由此建立空間直角坐標(biāo)系設(shè),結(jié)合條件求得平面的法向量為,又平面的法向量為,根據(jù)二面角的余弦值為可求得,進(jìn)而可求得異面直線所成角的余弦值.

詳解:(1)證明:在中,連并延長交,連

因?yàn)辄c(diǎn)的重心,

所以,且中點(diǎn).

所以,

所以

中點(diǎn),

所以

,

所以,

所以,四點(diǎn)共面,

平面,平面

所以平面

(2)由題意,平面,即平面,

平面

所以

因?yàn)槠矫?/span>平面,且交線為,,

所以平面

又四邊形為直角梯形,,

所以

所以平面

因?yàn)?/span>,

所以平面平面

分別是邊長為12的正三角形,

故以為原點(diǎn),軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè),則,,,

因?yàn)?/span>,

所以,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,得,

,得

又平面的法向量

由題意得

解得

,,

所以

所以異面直線所成角的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO=百米.

(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;

(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組,記作:.其中稱為數(shù)組的“元”,的下標(biāo).如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都來自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”則稱的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組,的關(guān)系數(shù)為.

1)若,設(shè)的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組,求的最大值及此時(shí)的數(shù)組;

2)若,,且,的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】高鐵、網(wǎng)購、移動(dòng)支付和共享單車被譽(yù)為中國的“新四大發(fā)明”,彰顯出中國式創(chuàng)新的強(qiáng)勁活力.某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

每周移動(dòng)支付次數(shù)

1次

2次

3次

4次

5次

6次及以上

10

8

7

3

2

15

5

4

6

4

6

30

合計(jì)

15

12

13

7

8

45

(1)把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱為“移動(dòng)支付達(dá)人”,按分層抽樣的方法,在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中,隨機(jī)抽取6名用戶

求抽取的6名用戶中男女用戶各多少人;

從這6名用戶中抽取2人,求既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率.

(2)把每周使用移動(dòng)支付超過3次的用戶稱為“移動(dòng)支付活躍用戶”,填寫下表,問能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)?

P(χ2k)

0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

.635

非移動(dòng)支付活躍用戶

移動(dòng)支付活躍用戶

合計(jì)

合計(jì)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有120粒試驗(yàn)種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個(gè)坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個(gè)坑內(nèi),每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種(每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,且第二次補(bǔ)種的種子顆粒同第一次).假定每個(gè)坑第一次播種需要2元,補(bǔ)種1個(gè)坑需1元;每個(gè)成活的坑可收貨100粒試驗(yàn)種子,每粒試驗(yàn)種子收益1元.

(1)用表示播種費(fèi)用,分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望;

(2)用表示收益,分別求出兩種方案的收益的數(shù)學(xué)期望;

(3)如果在某塊試驗(yàn)田對該種子進(jìn)行試驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),圓與圓外切于原點(diǎn),且兩圓圓心的距離,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓和圓的極坐標(biāo)方程;

(2)過點(diǎn)的直線與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn),與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn),且.求四邊形面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)處取得極值,對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有

A.5B.10

C.20D.120

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

1當(dāng)時(shí),求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值;

2設(shè)對任意,都有

求實(shí)數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案