【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2 , 上、下頂點(diǎn)分別為B2、B1 , O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形A1B1A2B2的面積為4,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為x2+y2= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若M、N是橢圓C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線OM、ON的斜率之積等于﹣ ,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵四邊形A1B1A2B2的面積為4,又可知四邊形A1B1A2B2為菱形,
∴ ,即ab=2 ①
由題意可得直線A2B2方程為: ,即bx+ay﹣ab=0,
∵四邊形A1B1A2B2內(nèi)切圓方程為 ,
∴圓心O到直線A2B2的距離為 ,即 ②
由①②解得:a=2,b=1,
∴橢圓C的方程為:
(Ⅱ)若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
由 得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0∵直線l與橢圓C相交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn),
∴△=64m2k2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)>0得:1+4k2﹣m2>0③
由韋達(dá)定理:
∵直線OM,ON的斜率之積等于 ,
∴ ,
∴ ,
∴2m2=4k2+1滿足③…(9分)
∴ ,
又O到直線MN的距離為 , ,
所以△OMN的面積
若直線MN的斜率不存在,M,N關(guān)于x軸對(duì)稱
設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),則 , ,
又∵M(jìn)在橢圓上, ,∴ ,
所以△OMN的面積S= = =1.
綜上可知,△OMN的面積為定值1
【解析】(Ⅰ)利用四邊形A1B1A2B2為菱形,求出ab=2,圓心O到直線A2B2的距離為 ,列出方程,求出a,b,即可得到橢圓方程.(Ⅱ)若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),由 得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0,利用韋達(dá)定理以及判別式,通過直線OM,ON的斜率之積等于 ,求出三角形的面積,若直線MN的斜率不存在,M,N關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),求解三角形的面積即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 過點(diǎn)(0,﹣2),F(xiàn)1 , F2分別是其左、右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),PF1⊥x軸,且△OPF1的面積為 ,
(1)求橢圓E的離心率和方程;
(2)設(shè)A,B是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn),若直線AB的斜率為 ,求△OAB面積的最大值.
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【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且EF=,則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_____.
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面積與△BEF的面積相等.④三棱錐A﹣BEF的體積為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足12Sn﹣36=3n2+8n,數(shù)列{log3bn}為等差數(shù)列,且b1=3,b3=27.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=(﹣1)n ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x1 , x2 , 當(dāng)f(x1)=f(x2)時(shí),總有x1=x2 , 則稱函數(shù)f(x)為單純函數(shù),例如函數(shù)f(x)=x是單純函數(shù),但函數(shù)f(x)=x2不是單純函數(shù).若函數(shù) 為單純函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= .
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
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【題目】已知橢圓E: + =1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(Ⅱ)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.
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【題目】設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線l與拋物線分別交于兩點(diǎn)A,B,若點(diǎn)M滿足 = ( + ),過M作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若|PF|=2,則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 .
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