已知an=
1×2
+
2×3
+
3×4
+…+
n(n+1)
（n∈N*），用放縮法證明：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．（提示：
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
）
分析：根據(jù)
n(n+1)
＞n 且
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
 以及不等式的性質，證得
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．
解答：證明：∵
n(n+1)
=
n2+n
，∴
n(n+1)
＞n，
∴an=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
＞1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
．
∵
n(n+1)
＜
n+(n+1)
2
，
∴an＜
1+2
2
+
2+3
2
+
3+4
2
+…+
n+(n+1)
2
=
1
2
+（2+3+…+n）+
n+1
2
=
n(n+2)
2
．
綜上得：
n(n+1)
2
＜an＜
n(n+2)
2
．
點評：本題主要考查用放縮法證明不等式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個極值點
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式
（Ⅱ）當t=2時，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，數(shù)列{bn}前n項的和為Sn，求證：Sn＜
1
6

（Ⅲ）設cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，數(shù)列{cn}前n項的和為Tn，求同時滿足下列兩個條件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）對于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，當n≥k時，Tn＞m．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）在an與an+1之間插人n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列{
1dn
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•邯鄲模擬）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a
 
n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：邯鄲模擬 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-
a n
=
2
an+1+an-1
(n∈N*)
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=
1
c1c2
+
1
c2c3
+…+
1
cncn+1
，若Sn＜k恒成立，求k的取值范圍．

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