Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=

t

是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）當t=2時，令bn=

an-1

(an+1)(an+1+1)

，數(shù)列{b_n}前n項的和為S_n，求證：S_n＜

1

6

（Ⅲ）設cn=

1

2

an

(2n+1)(2n+1+1)

，數(shù)列{c_n}前n項的和為T_n，求同時滿足下列兩個條件的t的值：
（1）Tn＜

1

6

（2）對于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在k∈N*，當n≥k時，T_n＞m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用x=

t

是函數(shù)的一個極值點找到數(shù)列{a_n}的遞推公式，再利用數(shù)列{a_n}的遞推公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結(jié)論求出數(shù)列{b_n}的通項公式，在利用裂項求和法求出數(shù)列{b_n}前n項的和為S_n，就可證明結(jié)論．
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的結(jié)論得出t=2時符合要求，再對t≠2時分兩種情況分別求t，看是否有符合要求的t即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：f′（

t

）=0即3a_n-1t-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
則當t≠1時，數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項
t為公比的等比數(shù)列
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1
由a_n+1-a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）
=t+（t²-t）[1+t+t²++t^n-2]
=t+（t²-t）•

1-tn-1

1-t

=tⁿ
此式對t=1也成立
∴a_n=tⁿ（n∈N^*）（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）bn=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1-1

)，
所以Sn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

故：S_n＜

1

6

．
（Ⅲ）（1）當t=2時，由（Ⅱ）得Tn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

，
Tn=

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞m?n＞log2(

1

1 3 -2m

-1)-1＞0
取k=[log2(

1

1 3 -2m

-1)-1]，當n≥k時，T_n＞m
（2）當t＜2時，

tn

2n

=(

t

2

)n≤

t

2

，
所以tn≤

t

2

2n，Tn≤

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＜

t

12

＜

1

6

取m=

t

12

∈(0，

1

6

)，
因為Tn＜

t

12

，不存在k，使得當n≥k時，T_n＞m
（3）當t＞2時，

tn

2n

=(

t

2

)n≥

t

2

，tn≥

t

2

2n，Tn≥

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)，
由（1）可知存在k∈N*，當n≥k時

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞

1

3t

，
故存在k∈N*，當n≥k時，Tn≥

t

2

1

2

(

1

2+1

-

1

2n+1+1

)＞

t

2

1

3t

=

1

6

綜上，t=2

點評：本題是借助于函數(shù)的極值點來研究數(shù)列的通項以及利用裂項求和法求數(shù)列的和．是一道不太容易的題．需要綜合的知識點較多．