Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

Answer 1

分析：（1）直接利用線面平行的判定定理證明；
（2）證明BC⊥平面PAC，只需證明BC垂直于面PAC內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可以得到PA垂直于BC，通過解三角形證明AC垂直于BC，然后直接借助于線面垂直的判定證明BC⊥平面PAC；
（3）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點的坐標(biāo)，求出兩個面的法向量，利用兩個平面法向量所成角的余弦值得到二面角A-PC-D的平面角α的正弦值．

解答：（1）證明：如圖，
∵AB∥DC，且AB?平面PCD，DC?平面PCD．
∴AB∥平面PCD；
（2）證明：在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形．
∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，
∴CE=BE=1，CB=

2

．
∴AD=CE=1，
則AC=

AD2+DC2

=

2

，AC²+BC²=AB²．
∴BC⊥AC．
又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A．
所以BC⊥平面PAC．
（3）解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．
∴

AP

=(0，0，1)，

PC

=(1，1，-1)，

PD

=(1，0，-1)．
設(shè)

m

=(a，b，c)為平面PAC的一個法向量，
由

m • AP =0 m • PC =0

，得

c=0 a+b-c=0

，取b=-1，得a=1．
所以

m

=(1，-1，0)．
設(shè)

n

=(d，e，f)為平面PCD的一個法向量，
由

n • PC =0 n • PD =0

，得

d+e-f=0 d-f=0

，取f=1，得d=1，e=0．
所以

n

=(1，0，1)．
所以二面角A-PC-D的平面角α的正弦值sinα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=|

1

2 • 2

|=

1

2

．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求解二面角的大小，解答的關(guān)鍵是明確二面角的平面角與二面角的兩個平面法向量所成角的關(guān)系，是中檔題．