【題目】已知函數(shù),( .

(1)若 ,求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

(2)若時,不等式上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng), 時,記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)是),求證: .

【答案】(1) (2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)代入, 時,得到,求得,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)把不等式上恒成立,轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值,即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)方法一:求得,得, 是方程的兩個根,即,

化簡,令,利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,即可證明結(jié)論;

試題解析:

(1)由題意: , 時,

所以

,得,因?yàn)?/span>,所以

所以的單調(diào)減區(qū)間為.

2時,

不等式上恒成立即為: 在區(qū)間上恒成立

,則,令得: ,

因?yàn)?/span>時, , 時, ,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

所以,所以.

(3)方法一:因?yàn)?/span>,所以,從而

由題意知, 是方程的兩個根,故.

,則,因?yàn)?/span>,所以

,所以 ,且 .

因?yàn)?/span>,所以, .

, .

因?yàn)?/span>,所以單調(diào)遞增,

所以,即.

方法二:因?yàn)?/span>,所以,從而.

由題意知, , 是方程的兩個根.記,則,

因?yàn)?/span>,所以, ,

所以, ,且上為減函數(shù).

所以.

因?yàn)?/span>,故.

練習(xí)冊系列答案
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1)當(dāng)時, 上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)當(dāng)時,若函數(shù)上恰有兩個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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②若y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,則它的均值點(diǎn)x0 ;
③若函數(shù)f(x)=x2+mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m∈(﹣2,0);
④若f(x)=lnx是區(qū)間[a,b](b>a≥1)上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個均值點(diǎn),則lnx0
其中的真命題有(寫出所有真命題的序號).

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