【題目】(文)已知點D(1, )在雙曲線C: =1(a>0,b>0)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是 x+y=0.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(0,1)且斜率為k的直線l與雙曲線C有兩個不同交點,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線l與雙曲線C交于A、B兩個不同點,若以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,求實數(shù)k的值.
【答案】
(1)解:由題知,有
解得
因此,所求雙曲線C的方程是
(2)解:∵直線l過點(0,1)且斜率為k,
∴直線l:y=kx+1.
代入雙曲線方程得(3﹣k2)x2﹣2kx﹣2=0.
又直線l與雙曲線C有兩個不同交點,
∴3﹣k2≠0且△=(﹣2k)2+8(3﹣k2)>0
解得k∈(﹣ ,﹣ )∪(﹣ , )∪( , )
(3)解:設(shè)點A、B的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2).
由(2)可得x1+x2= ,x1x2=
又以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,
則kOAkOB=﹣1,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,
∴ ,解得k=±1.
又k=±1滿足3﹣k2≠0且△=(﹣2k)2+8(3﹣k2)>0,
∴所求實數(shù)k=±1
【解析】(1)點D(1, )代入雙曲線方程,結(jié)合且雙曲線的一條漸近線的方程是 x+y=0,建立方程,求出a,b,即可求雙曲線C的方程;(2)直接聯(lián)立直線與雙曲線方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根的判別式,即可求實數(shù)k的取值范圍;(3)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點轉(zhuǎn)化為kOAkOB=﹣1,即x1x2+y1y2=0,整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的圖象與y軸的交點為(0, ),它的一個對稱中心是M( ,0),點M與最近的一條對稱軸的距離是 .
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)取得最大值時x的取值集合;
(3)當(dāng)x∈(0,π)時,求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示:有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.
(1)每次只能移動一個金屬片;
(2)在每次移動過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為f(n);
①f(3)=;
②f(n)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(Ⅰ)當(dāng)時,求的最小值;
(Ⅱ)記,請證明下列結(jié)論:
①若,則對任意,有;
②若,則存在實數(shù),使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)如果對任意, 恒成立,求的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個零點為,證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在區(qū)間[0,3]上有最大值4,最小值0.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)設(shè)f(x)= .若f(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣3,3]時恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由和直角梯形拼接而成的,其中.且點為線段的中點, , .現(xiàn)將沿進(jìn)行翻折,使得二面角的大小為90°,得到圖形如圖(2)所示,連接,點分別在線段上.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點到平面的距離.
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