Question

【題目】【2017湖南婁底二模】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， , .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)是棱上的點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證平面平面，只需證平面即可.

（Ⅱ）分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，求平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接， ，

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以， ，①

又，所以，且，

于是，從而，②

由①②得平面，而平面，所以平面平面.

（Ⅱ）連結(jié)，設(shè)，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)平面時(shí)， ，所以是的中點(diǎn).

由（Ⅰ）知， 、、兩兩垂直，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則、、、，

由、坐標(biāo)得，從而， ，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由得，

取，得，易知平面的一個(gè)法向量是，

所以 ，

由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故所求余弦值為.