Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是棱長為2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC中點，若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 ．
（1）當(dāng)EH與平面PAD所成角的正切值為 時，求證：EH∥平面PAB；
（2）在（1）的條件下，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，由題設(shè)知△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，

又BC∥AD，因此AE⊥AD；

∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

∴PA⊥AE

而PA平面PAD，AD平面PAD，且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．

在Rt△EAH中，AE=

所以當(dāng)AH最短時，∠EHA最大；

即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大；

此時tan∠EHA= = = ，

因此AH= ，

又AD=2，∴∠ADH={45°}∴PA=2

∴H為PD的中點，

取PA的中點M，連接HM，MB，則HM= 且HM∥AD，DB= AD且DB∥AD，

∴HM∥DB且HM=DB

∴四邊形DHMB為平行四邊形

∴EH∥BM，

又BM平面PAB

∴EH∥平面PAB

（2）解：∵PA⊥面ABCD，PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD，

∵PB面PAB∴CM⊥PB，

∴PB⊥面CQM，∴ ，

∴△ABC為正三角形，∴點M為AB的中點，

∴ ，∴ ，

∴

【解析】（1）首先要證明AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角；所以當(dāng)AH最短時，∠EHA最大；即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大；接著利用構(gòu)造平行四邊形法判定線面平行即可；（2）利用已知條件證明平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥面CQM，所求二面角轉(zhuǎn)化到Rt△CQM中即可；
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．