知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為:
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點(diǎn)
①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點(diǎn),求證:為定值
(Ⅰ);(Ⅱ)(1),(2)定值為
解析試題分析:(1)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形,可以看作是以長為底邊,高為的等腰三角形,故面積為,從而可以列出等式,又由離心率得及,可解出,從而求出橢圓的方程 (2)直線和橢圓相交,其方程聯(lián)立方程組,消去,可得關(guān)于的二次方程,利用韋達(dá)定理可得,這就是相交弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而求出,把用坐標(biāo)表示出來,借助(1)中的二次方程得出的代入,就可證明出定值
試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d2/7/wnlrp1.png" style="vertical-align:middle;" />滿足,, 2分
,解得,,
則橢圓方程為 4分
(Ⅱ)(1)設(shè),將代入并化簡得
6分
,
則是上述方程的解
, 7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d6/9/ppbum2.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得 9分
(2)由(1),,
,為定值
考點(diǎn):(Ⅰ)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì);(Ⅱ)直線與橢圓的位置關(guān)系問題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為,
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在以雙曲線C的實(shí)軸長為直徑的圓上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng) 時(shí),求實(shí)數(shù)取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
矩形的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),邊與軸平行,=8,=6.分別是矩形四條邊的中點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn),是線段的四等分點(diǎn).設(shè)直線與,與,與的交點(diǎn)依次為.
(1)求以為長軸,以為短軸的橢圓Q的方程;
(2)根據(jù)條件可判定點(diǎn)都在(1)中的橢圓Q上,請(qǐng)以點(diǎn)L為例,給出證明(即證明點(diǎn)L在橢圓Q上).
(3)設(shè)線段的(等分點(diǎn)從左向右依次為,線段的等分點(diǎn)從上向下依次為,那么直線與哪條直線的交點(diǎn)一定在橢圓Q上?(寫出結(jié)果即可,此問不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過點(diǎn)、.記其上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為.
(1)求圓心在線段上,且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點(diǎn)的圓的方程;
(2)在橢圓位于第一象限的弧上求一點(diǎn),使的面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線均相切,切點(diǎn)分別為、,另一圓與圓、軸及直線均相切,切點(diǎn)分別為、.
(1)求圓和圓的方程;
(2)過點(diǎn)作的平行線,求直線被圓截得的弦的長度;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線 C
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),求|AB|.
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