【題目】如圖,點(diǎn)為正四棱錐的底面中心,四邊形為矩形,且,.
(1)求正四棱錐的體積;
(2)設(shè)為側(cè)棱上的點(diǎn),且,求直線和平面所成角的大小.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據(jù)條件求出底面面積,用錐體體積公式即可求解;(2)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量和平面的法向量的坐標(biāo),用公式
求解即可。
解:(1)由已知可得,
注意到,故底面正方形的邊長,
所以正四棱錐的體積為…
.
(2)以為原點(diǎn),,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易得,,,,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
所以,
又,,即.
解得可取
依題意可得,現(xiàn)設(shè),則,
那有,故,故,
從而,…
設(shè)直線和平面所成角為,則
,
∵,∴,
故,直線和平面所成角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo))、推理能力(指標(biāo))、建模能力(指標(biāo))的相關(guān)性,將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí),再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí),為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生,得到如下數(shù)據(jù):
學(xué)生編號(hào) | ||||||||||
(1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率;
(2)在這10名學(xué)生中任取三人,其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為,求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若對(duì)任意的,在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點(diǎn)的橢圓的離心率為,橢圓與軸交于兩點(diǎn)、,過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn),并與軸交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年9月,臺(tái)風(fēng)“山竹”在我國多個(gè)省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個(gè)農(nóng)戶在該次臺(tái)風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)臺(tái)風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣?huì)發(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(m為參數(shù)).
(1)將C1,C2的方程化為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)設(shè)曲線C1與C2的交點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,,,二面角為,為的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且
(1)求證:四邊形為直角梯形;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列三個(gè)正方體中,均為所在棱的中點(diǎn),過作正方體的截面.在各正方體中,直線與平面的位置關(guān)系描述正確的是
A. 平面的有且只有①;平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②;平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①;平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②;平面的有且只有③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集為{x|-2≤x≤6}.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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