Question

類比命題(1),給出命題(2)的結論的猜想.

(1)如果△ABC的三條邊BC、CA、AB上的高分別為h_a、h_b和h_c,△ABC內任意一點P到三條邊BC、CA,AB的距離分別為P_a,P_b,P_c,那么=1.

(2)從四面體的四個頂點A、B、C、D分別向所對的面作垂線,垂線長分別為h_a、h_b、h_c和h_d.P為四面體內任意一點,從點P向A、B、C、D四頂點所對的面作垂線,垂線長分別為P_a、P_b、P_c和P_d,那么諸h_i與諸P_i滿足什么關系式(i=a,b,c,d)?

Answer 1

解:類比推理猜想=1.?

更有趣的是它們證明也可類比移植，由平面到空間如法炮制.?

先看命題（1）的證明（面積證法）:?

∵=,?

同理, =，=.?

∵+====1，?

∴=1.?

命題（2）的證明（體積證法）:

∵==，?

同理,= ,=,=.?

∵+++??

===1,?

∴=1.