Question

已知f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函數(shù)，且f(2)=

5

3

，
（1）求實數(shù)p和q的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由及函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）恒成立，可得p和q的一個關(guān)系式，由f(2)=

5

3

再得p和q的一個關(guān)系式，聯(lián)立解方程組即可求出實數(shù)p和q的值；
（2）可直接利用導(dǎo)數(shù)進行判斷．先求導(dǎo)，令f′（x）＞0即得f（x）的增區(qū)間，令f′（x）＜0即得f（x）的減區(qū)間．

解答：解；（1）f(x)=

px2+2

3x+q

是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，
即f(-x)=

px2+2

-3x+q

=-

px2+2

3x+q

=

px2+2

-3x-q

，所以q=0，又f(2)=

5

3

，可得p=2，
所以p=2，q=0
（2）由（1）知f(x)=

2x2+2

3x

= 

2

3

x+

2

3x

，f′(x)=

2

3

-

2

3x2

令f′（x）＞0得x＜-1或x＞1，令f′（x）＜0得-1＜x＜1，因為x≠0，
所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）
減區(qū)間為（-1，0），（0，1）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和就行的應(yīng)用，屬基本題型的考查．