Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點，現(xiàn)定義由點A到點B的一種折線距離ρ（A，B）為ρ（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
對于平面xOy上給定的不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）若點C（x，y）是平面xOy上的點，試證明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）在平面xOy上是否存在點C（x，y），同時滿足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，請求出所有符合條件的點，請予以證明．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)用絕對值不等式的性質(zhì)|a|+|b|≥|a+b|
（2）假設(shè)符合條件的點存在，檢驗條件①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）與②ρ（A，C）=ρ（C，B）同時成立時，x，y的值是否存在．

解答：（1）證明：由絕對值不等式知，
ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x₁|+|x₂-x|+|y-y₁|+|y₂-y
≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=ρ（A，B）
當(dāng)且僅當(dāng)（x-x₁）•（x₂-x）≥0，且（y-y₁）•（y₂-y）≥0時等號成立．
（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得
（x-x₁）•（x₂-x）≥0且（y-y₁）•（y₂-y）≥0  （Ⅰ）
由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x₁|+|y-y₁|=|x₂-x|+|y₂-y|（Ⅱ）
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是不同的兩點，則：1°若x₁=x₂且y₁≠y₂，
不妨設(shè)y₁＜y₂，由（Ⅰ）得x=x₁=x₂，且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得y=

y1+y2

2

，
此時，點C是線段AB的中點，即只有點C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)滿足條件；
2°若x₁≠x₂且y₁=y₂，
同理可得：只有AB的中點C(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)滿足條件；
3°若x₁≠x₂且y₁≠y₂，不妨設(shè)x₁＜x₂且y₁＜y₂，
由（Ⅰ）得x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂，
由（Ⅱ）得x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

，
此時，所有符合條件的點C的軌跡是一條線段，即：過AB的中點(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
斜率為-1的直線x+y=

x1+x2

2

+

y1+y2

2

夾在矩形AA₁BB₁之間的部分，
其中A（x₁，y₁），A₁（x₂，y₁），B（x₂，y₂），B₁（x₁，y₂）．

點評：本題考查絕對值不等式的性質(zhì)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．