設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．
分析：（1）根據(jù)題意，可得b=1且
a2-b2
a
=
3
2
，解出a=2，由此即可得到該橢圓的方程；

（2）由（1）得焦點(diǎn)F（0，
3
），設(shè)AB的方程為y=kx+
3
，與橢圓方程聯(lián)解并消去y，得（k2+4）x2+2
3
kx-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2、x1x2關(guān)于k的表達(dá)式．由
m
•
n
=0，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得到關(guān)于k的方程，解出k=±
2
，代入前面式子得x1+x2=?
2
6
6
，x1x2=-
1
6
，從而算出|x1-x2|=
2
3
3
，由此代入△AOB面積公式，即可得到所求△AOB的面積．
解答：解：（1）∵短軸長(zhǎng)為2b=2，∴b=1
又∵橢圓的離心率e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2


∴解得a=2，所以橢圓的方程為
y2
4
+x2=1（5分）
（2）由（1）得c=
a2-b2
=
3
，可得F（0，
3
）
由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+
3
，與橢圓方程聯(lián)解得
y=kx+
3
y2
4
+x2=1

消去y，得(k2+4)x2+2
3
kx-1=0
∴x1+x2=
-2
3
k
k2+4
，x1x2=
-1
k2+4
（7分）
∵
m
•
n
=0，
∴
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=x1x2+
1
4
(kx1+
3
)(kx2+
3
)=(1+
k2
4
)x1x2+
3
k
4
(x1+x2)+
3
4

=
k2+4
4
(-
1
k2+4
)+
3
k
4
•
-2
3
k
k2+4
+
3
4
=0，解之得k=±
2
（10分）
∴x1+x2=
-2
3
k
k2+4
=?
2
6
6
，x1x2=
-1
k2+4
=-
1
6
，
由此可得|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(
2
6
6
)2-4(-
1
6
)
=
2
3
3

∴△AOB的面積為S△AOB=
1
2
|OF|•|x1-x2|=
3
2
•
2
3
3
=1．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率，求橢圓的方程并依此求△AOB的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和坐標(biāo)系中三角形面積求法等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對(duì)于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值．

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