在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）若，求的值；

（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)時(shí)，恒有||>||．

本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力．

解：

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，

故．

若，即．

而，

于是，

化簡(jiǎn)得，所以．

（Ⅲ）

                 

                 

                  ．

因?yàn)?i>A在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設(shè)條件下，恒有．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．

（1）寫出C的方程；

（2）若OAOB，求k的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有||>||．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年海南省等4校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)p到兩點(diǎn)的距離之和等于4，

設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，

（1）寫出C的方程；

（2）若，求k的值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年河南省高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，過點(diǎn)的直線C交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）設(shè)d為A、B兩點(diǎn)間的距離，d是否存在最大值、最小值，若存在， 求出d的最大值、最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆安徽省安慶市第一學(xué)期高二第二次月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為，直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)．

（Ⅰ）寫出軌跡C的方程；       （Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k>0時(shí)，恒有||>||

 

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