Question

如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3,AA₁=4，M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到M的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與CC₁的交點(diǎn)為N.求：

 

（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）PC和NC的長(zhǎng)；

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）.

Answer 1

解：（1）正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線的長(zhǎng)為

（2）如圖，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁的位置，連結(jié)MP₁，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到點(diǎn)M的最短路線.設(shè)PC=x，則P₁C=x.

在Rt△MAP₁中，由勾股定理得(3+x)²+2²=29.

解得x=2,PC=P₁C=2.

（3）如圖，連接PP₁，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線.

作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，連結(jié)CH,

由三垂線定理得：CH⊥PP₁,

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°,

∴CH=PC=1.在Rt△NCH中，

tan∠NHC=

故平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為arctan.