Question

設(shè)函數(shù).
（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求函數(shù)的極值點(diǎn).

Answer 1

（1）（2）時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；
時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn).

（1）先求導(dǎo)，可得,因?yàn)楹瘮?shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù),所以只能是上恒成立，也就是說函數(shù)f(x)只能是增函數(shù)，到此問題基本得解.
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，可知當(dāng)時(shí)，的點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)不變號(hào)的點(diǎn)，函數(shù)無極值點(diǎn)；然后再分和兩種情況進(jìn)一步研究.
解:（1），若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，
則只能在上恒成立，即在上恒成立.，
，
令，則，可得，即只要.
（或令，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是，故只要恒成立，）
（2）有（1）知當(dāng)時(shí)，的點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)不變號(hào)的點(diǎn)，
故時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，的根是，
若，，此時(shí)，，且在上，
在上，故函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
在都大于，在上小于 ，
此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)．
綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；
時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn).