Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓，把圓上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，且傾斜角為，經過點的直線與曲線交于兩點.

（1）當時，求曲線的普通方程與直線的參數(shù)方程；

（2）求點到兩點的距離之積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的方程為， 的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.(2) .

【解析】試題分析： 由圓上每一點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，代入點坐標求出普通方程，將時代入，求直線的參數(shù)方程(2)將參數(shù)方程代入利用公式求出到兩點的距離之積的最小值

解析：（1）設圓上任意一點的坐標為，曲線上一點的坐標為,

根據(jù)題意，得，即.

又點在圓上，

所以，

即曲線的方程為，

由題知， ，

所以直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.

（2）將直線的參數(shù)方程（是參數(shù)）代入，

得 （*）.

設兩點對應的參數(shù)分別為，

則，

當時，經檢驗，（*）式中，

則取得最小值，即最小值為.