Question

設函數(shù)f(x)＝a為常數(shù)且a∈(0，1)．
(1)當a＝時，求f；
(2)若x₀滿足f[f(x₀)]＝x₀，但f(x₀)≠x₀，則稱x₀為f(x)的二階周期點．證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點，并求二階周期點x₁，x₂；
(3)對于(2)中的x₁，x₂，設A(x₁，f[f(x₁)])，B(x₂，f[f(x₂)])，C(a²，0)，記△ABC的面積為S(a)，求S(a)在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）（2）見解析，x₁＝，x₂＝（3）最小值為，最大值為

(1)當a＝時，f＝，f＝f＝2＝.
(2)證明：f[f(x)]＝
當0≤x≤a²時，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二階周期點；
當a²<x≤a時，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a²，a)，因為f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二階周期點；
當a<x<a²－a＋1時，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a²－a＋1)，
因為f＝·＝，故x＝不是f(x)的二階周期點；
當a²－a＋1≤x≤1時，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a²－a＋1，1)，因為f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二階周期點．
因此，函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點，x₁＝，x₂＝.
(3)由(2)得A(，)，B(，)，則S(a)＝，
S′(a)＝·.
因為a∈[，]，有a²＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a³－2a²－2a＋2，g′(a)＝3a²－4a－2＝3(a－)(a－)，
因為a∈(0，1)，所以g′(a)<0，則g(a)在區(qū)間[，]上最小值為g()＝>0，故對于任意a∈[，]，g(a)＝a³－2a²－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)則S(a)在區(qū)間[，]上單調遞增，故S(a)在區(qū)間[，]上的最小值為S()＝，最大值為S()＝.