Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（p，-1），Q（p，1+

p2

2

），過Q作斜率為

p

2

的直線l，P Q中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）證明：l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若（1）中的其中一個(gè)公共點(diǎn)為A，證明：AP是曲線C的切線．

Answer 1

（1）直線l的方程是：y-1-

p2

2

=

p

2

(x-p)，即y=

p

2

x+1，經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）；
又M（p，

p2

4

），設(shè)x=p，y=

p2

4

，消去p，得到的軌跡方程為：y=

x2

4

．
由

y= x2 4 y= p 2 x+1

有x²-2px-4=0，其中△=4p²+16，所以l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個(gè)公共點(diǎn)
（2）由x²-2px-4=0，設(shè)A（p+

p2+4

，

(p+ p2+4 )2

4

），
則kAP=

(p+ p2+4 )2 4 +1

p2+4

=

p+ p2+4

2

，
又函數(shù)y=

x2

4

的導(dǎo)函數(shù)為y=

x

2

，故A處的切線的斜率也是

p+ p2+4

2

，從而AP是曲線C的切線．對(duì)于另一個(gè)解同樣可證．