已知動點(diǎn)P(p,-1),Q(p,),過Q作斜率為的直線l,P Q中點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)證明:l經(jīng)過一個定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個公共點(diǎn);
(2)若(1)中的其中一個公共點(diǎn)為A,證明:AP是曲線C的切線.
【答案】分析:(1)先用消參法求出P Q中點(diǎn)M的軌跡方程,再求出帶參數(shù)p的直線l的方程,與點(diǎn)M的軌跡方程聯(lián)立,再判斷△的大小,即可得到直線l與曲線C一定有兩個公共點(diǎn),
(2)先解(1)中聯(lián)立方程組得到的一元二次方程,得到A點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率公式求出AP的斜率,再用導(dǎo)數(shù)求出斜率,觀察兩者是否相等,即可得證.
解答:解:(1)直線l的方程是:,即,經(jīng)過定點(diǎn)(0,1);
又M(p,),設(shè)x=p,y=,消去p,得到的軌跡方程為:
有x2-2px-4=0,其中△=4p2+16,所以l經(jīng)過一個定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個公共點(diǎn)
(2)由x2-2px-4=0,設(shè)A(),
=,
又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,故A處的切線的斜率也是,從而AP是曲線C的切線.對于另一個解同樣可證.
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,特別是相交和相切關(guān)系,巧妙地利用韋達(dá)定理,導(dǎo)數(shù)的幾何意義可有效提高解題速度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點(diǎn)P(3t,t+1)(t≠0,t≠
1
2
)
在角α的終邊上.
(1)若α=
π
6
,求實數(shù)t的值;
(2)記S=
1-sin2α+cos2α
1-sin2α-cos2α
,試用t將S表示出來.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線x=4的距離之比為
12

(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若點(diǎn)M是圓C:x2+(y-3)2=1上的動點(diǎn),求|PM|+|PF|的最大值及此時的P點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點(diǎn)P(p,-1),Q(p,1+
p2
2
),過Q作斜率為
p
2
的直線l,P Q中點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)證明:l經(jīng)過一個定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個公共點(diǎn);
(2)若(1)中的其中一個公共點(diǎn)為A,證明:AP是曲線C的切線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知動點(diǎn)P(p,-1),Q(p,1+
p2
2
),過Q作斜率為
p
2
的直線l,P Q中點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)證明:l經(jīng)過一個定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個公共點(diǎn);
(2)若(1)中的其中一個公共點(diǎn)為A,證明:AP是曲線C的切線.

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