Question

【題目】已知函數（為常數）．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）是否存在正實數，使得對任意，都有，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）當時， ，對恒成立，求整數的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)2.

【解析】

（Ⅰ）由，討論和導數的正負，從而可得函數的單調性；

（Ⅱ）由正實數a，結合（Ⅰ）的單調性可得，即g(x)=f(x)+在上單調遞減，求導可得a對恒成立，分析不等式右邊函數的最值即可；

（Ⅲ）由題意得lnx對恒成立，當x=1時，b； 又 b，通過證明b=2時不等式成立即可得解.

（Ⅰ）∵，．

∴（ⅰ）若，則恒成立f(x)在上單調遞增；

（ⅱ）若，則．

令，解得；令，解得．

在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上：當時，f（x）在上單調遞增；

當時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）滿足條件的a不存在．理由如下：

若，由（Ⅰ）可知，函數f(x)=alnx+在為增函數；

不妨設，

則，即

∴由題意：g(x)=f(x)+在上單調遞減，

∴在上恒成立,即a對恒成立；

又在上單調遞減；

∴a；故滿足條件的正實數a不存在．

（Ⅲ）當a=1時，使對恒成立

即lnx對恒成立．

∴ 當x=1時，b； 又 b

下面證明：當b=2時，lnx對恒成立．

當b=2時，lnx．

設g(x)=，則．

易知： ，

∴當時，；當時，．

∴g(x)

即當b=2時，lnx對恒成立．∴