Question

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)C:與直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)取得最小值為時(shí)，求的值.

（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)PM、PN分別交拋物線(xiàn)C于M、N（M、N不同于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且的平分線(xiàn)與軸平行，求證：直線(xiàn)MN的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，定值.

【解析】

（1）先確定直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，再根據(jù)拋物線(xiàn)定義求，最后根據(jù)最小值求的值；

（2）先確定PM、PN的斜率互為相反數(shù)，再設(shè)直線(xiàn)PM方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立解得M坐標(biāo)，類(lèi)似可得N點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用斜率公式求結(jié)果.

（1）由題意知：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)為拋物線(xiàn)焦點(diǎn).

聯(lián)立，消去得：

設(shè)，

有，

…

，當(dāng)時(shí)，

，解得

（2）證明：由已知可知直線(xiàn)PM、PN的斜率存在，且互為相反數(shù)

設(shè)，直線(xiàn)PM的方程為.

聯(lián)立，消去x整理得：.

又4為方程的一個(gè)根，所以，得

同理可得

所以直線(xiàn)MN的斜率為定值.