已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)求g(x)在x∈[-1,1]上的最大值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1對?x∈[-1,1]及λ∈(-∞,-1]恒成立,求t的取值范圍;
(3)討論關于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m的根的個數(shù).
分析:(1)先利用f(x)是實數(shù)集R上的奇函數(shù)求出a,再利用g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)求出g(-1)即可.
(2)利用(1)的結論把問題轉化為(t+1)λ+t2+sin1+1≥0在λ∈(-∞,-1]恒成立,再利用圖形找到t滿足的條件即可.
(3)把研究根的個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題,借助于圖形可得結論.
解答:解:(1)f(x)=ln(ex+a)是奇函數(shù),則ln(e-x+a)=-ln(ex+a)恒成立.
∴(e-x+a)(ex+a)=1.1+ae-x+aex+a2=1,∴a(ex+e-x+a)=0,∴a=0.
又∵g(x)在[-1,1]上單調遞減,∴g(x)max=g(-1)=-λ-sin1,

(2)只需-λ-sin1≤t2+λt+1在λ∈(-∞,-1]上恒成立,
∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0在λ∈(-∞,-1]恒成立.
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1(λ≤-1),則
t+1≤0
-t-1+t2+sin1+1≥0

t≤-1
t2-t+sin1≥0
而t2-t+sin1≥0恒成立,∴t≤-1.

(3)由(1)知f(x)=x,∴方程為
lnx
x
=x2-2ex+m
,
f1(x)=
lnx
x
,f2(x)=x2-2ex+m
,
f1(x)=
1-lnx
x2
,
當x∈(0,e)時,f′1(x)≥0,f1(x)在x∈(0,e]上為增函數(shù);
x∈[e,+∞)時,f′1(x)≤0,f1(x)在x∈[e,+∞)上為減函數(shù),
當x=e時,f1(x)max=f1(e)=
1
e

而f2(x)=(x-e)2+m-e2,
精英家教網∴函數(shù)f1(x)、f2(x)在同一坐標系的大致圖象如圖所示,
∴①當m-e2
1
e
,即m>e2+
1
e
時,方程無解.
②當m-e2=
1
e
,即m=e2+
1
e
時,方程有一個根.
③當m-e2
1
e
,即m<e2+
1
e
時,方程有兩個根.
點評:本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性、最值、導數(shù)、不等式等基礎知識,考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法,以及分類與整合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法,考查分析問題和解決問題的能力.
練習冊系列答案
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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1
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
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(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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